高中数学必修一集合与函数知识点归纳

集合的中元素的三个特性：

元素的确定性如：世界上最高的山

元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x(R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

有限集   含有有限个元素的集合

无限集   含有无限个元素的集合

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

即：① 任何一个集合是它本身的子集。A(A

②真子集:如果A(B,且A( B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

1、函数定义域、值域求法综合

2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略

3、恒成立问题的求解策略

4、反函数的几种题型及方法

5、二次函数根的问题——一题多解

1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

（代数法）求方程的实数根；

（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

向量：既有大小，又有方向的量．

数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．

零向量：长度为的向量．

单位向量：长度等于个单位的向量．

相等向量：长度相等且方向相同的向量

&向量的运算加法运算AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。|a＋b|≤|a|＋|b|。向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ λ(－a)。向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。向量的数量积已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

1、善于用“1“巧解题

2、三角问题的非三角化解题策略

3、三角函数有界性求最值解题方法

4、三角函数向量综合题例析

5、三角函数中的数学思想方法

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

时，． 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在

上是减函数． 在上是增函数；在

上是增函数． 对称性 对称中心

角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

终边在轴上的角的集合为

终边在轴上的角的集合为

终边在坐标轴上的角的集合为

3、与角终边相同的角的集合为

4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．

口诀：奇变偶不变，符号看象限．

　　教学类型：探究研究型

　　设计思路：通过一系列的猜想得出德.摩根律，但是这个结论仅仅是猜想，数学是一门科学，所以需要论证它的正确性，因此本节通过剖析维恩图的四部分来验证猜想的正确性，并对德摩根律进行简单的应用，因此我们制作了本微课.

　　内容：你好，现在让我们一起来学习《集合的运算——自己探索也能发现的数学规律（第二讲）》。

　　（4分20秒左右）

　　1.引入：牛顿曾说过：“没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。”

　　上节课老师和大家学习了集合的运算，得出了一个有趣的规律。课后，你举例验证了这个规律吗？

　　那么，这个规律是偶然的，还是一个恒等式呢？

　　试用集合A,B的交集、并集、补集分别表示维恩图中1,2,3,4及彩色部分的集合，通过剖析维恩图来验证猜想的正确性使用

　　3.抽象概括: 通过我们的观察和验证，我们发现这个规律是一个恒等式。

　　而这个规律就是180年前著名的英国数学家德摩根发现的。

　　为了纪念他，我们将它称为德摩根律。

　　原来我们通过自己的`探索也能发现这么伟大的数学规律。

　　4.例题应用：使用例题形式，将的德摩根定律的结论加以应用，让学生更加熟悉集合的运算

　　通过这在道题的解答，我们发现德摩根律为解答集合运算问题提供了更为简便的方法。

　　希望你在今后的学习中，勇于探索，发现更多有趣的规律。

　　教学反思（自我评价）

　　学生在学习集合时会接触到很多的集合运算，往往学生觉得这是集合中的难点，因此本节课通过一系列的猜想，以精彩的动画展示，让学生在直观的环境下轻松的学习，提高学生学习数学的兴趣，并通过层层深入的讲解，让学生进一步加强对集合运算的理解和应用能力，效果非常好.

【高一数学《集合的运算》教学设计】相关文章：

　　1. 理解两个集合的交集和并集的含义，能求两个集合的交集和并集

　　2. 理解在一个给定集合中子集的补集的含义；

　　3. 能用韦恩图表示两个集合的基本关系和基本运算；

　　4. 体会韦恩图对理解抽象概念的作用。

　　重点是交，并，补的运算；难点是补集概念的理解和补集的运算。

　　数学抽象、逻辑推理。

　　涉及的数学思想方法

　　数形结合、分类讨论、类比归纳。

　　实数有加减乘除，我们已经学习了集合的基本概念了，那么集合是否也有相应的四则运算呢？

　　某学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，召募成员时要求同时满足下列条件：

　　（1）中考的数学成绩不得低于80分（百分制）

　　（2）中考的物理成绩不得低于70分（百分制）

　　如果满足条件（1）的同学组成的集合记做集合P，满足条件（2）的同学组成的集合记做集合Q,而能成为科学兴趣小组的同学的集合记做R，那么这三个集合之间有什么关系呢？

　　通过生活中情境引入交集的概念，感受数学来源于生活，应用于生活，明白数学是无处不在的，有助于提高学习数学的兴趣.

　　由情境能够知道R中同学是由既满足P的性质又满足Q的性质的同学组成.

　　数学从生活中来，但高于生活，还要回到数学的抽象和数学的表达；从学生熟悉的结论入手，温故知新，符合学生的认知规律.

　　领会数形结合的数学思想，明确研究集合关系时使用韦恩图较为明显，更易理解.

　　强化数形结合和严密的数学推理的关系，让学有余力的同学有所施展才华.

　　强化数形结合和严密的数学推理的关系，让学有余力的同学有所施展才华.

　　本节课主要的知识点：

　　1. 交集，并集，补集的概念

　　2. 韦恩图表示集合关系

　　2. 交集部分中集合的元素个数的探索与研究