利用导数求函数的最值步骤 (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a,b]上的最值。 用导数的方法求最值特别提醒: ①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值,因此,函数极大值和极小值的判别是关键,极值与最值的关系:极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值; ②如果仅仅是求最值,还可将上面的办法化简,因为函数fx在[a,b]内的全部极值,只能在f(x)的导数为零的点或导数不存在的点取得(下称这两种点为可疑点),所以只需要将这些可疑点求出来,然后算出f(x)在可疑点处的函数值,与区间端点处的函数值进行比较,就能求得最大值和最小值; ③当f(x)为连续函数且在[a,b]上单调时,其最大值、最小值在端点处取得。 一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点; 极小值:一般地,设函数f(x)在x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),x0是极小值点。 极值是一个局部概念,由定义知道,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小; 函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个; 极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值; 函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。 判别f(x0)是极大、极小值的方法: ,且在x0的两侧f(x)的导数异号,则x0是f(x)的极值点, 是极值,并且如果 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果 在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值。 求函数f(x)的极值的步骤: 确定函数的定义区间,求导数f′(x); 求方程f′(x)=0的根; 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则f(x)在这个根处无极值。 对函数极值概念的理解: 极值是一个新的概念,它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念,在理解极值概念时要注意以下几点: ①按定义,极值点x0是区间[a,b]内部的点,不会是端点a,b(因为在端点不可导).如图 ②极值是一个局部性概念,只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值,在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值,也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小,如图. ③若fx)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值. ④若函数f(x)在[a,b]上有极值且连续,则它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且有有 限个极值点时,函数f(x)在[a,b]内的极大值点、极小值点是交替出现的, ⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点,不可导的点也可能是极值点,也可能不是极值点, 函数的最大值和最小值: 在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值,分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题,解决优化问题的方法很多,如:判别式法,均值不等式法,线性规划及利用二次函数的性质等, 不少优化问题可以化为求函数最值问题.导数方法是解这类问题的有效工具. 用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题: 在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去; 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的情形.如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点比较,也可以知道这就是最大(小)值; 在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还应确定出函数关系式中自变量的定义区间. 利用导数解决生活中的优化问题: 运用导数解决实际问题,关键是要建立恰当的数学模型(函数关系、方程或不等式),运用导数的知识与方法去解决,主要是转化为求最值问题,最后反馈到实际问题之中. 利用导数求f(x)在闭区间[a,b]上的最大值和最小值的步骤, ①求函数y =f(x)在(a,b)上的极值; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 定义在开区间(a,b)上的可导函数,如果只有一个极值点,该极值点必为最值点. |
设函数在区间内有定义,点是内的一点。若存在点的一个邻域,对于该邻域内任何异于的点,不等式
成立,称是函数的一个极大值(极小值);称点是函数 的极大值点(极小值点)。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值;
使函数取得极值的点统称为极值点。
关于函数的极值,如下几点注记是十分重要的。
1、函数的极值概念是一个局部概念。
如果是函数的一个极大值,那只是对的一个局部范围来说是的一个最大值。但对于整个函数的定义域来说,就不一定是最大值了。
对于极小值也是类似的。
2、极小值有可能较极大值更大。
如图: (是极大值, 而是极小值 )
从图中可看出,在函数取得极值之处,曲线具有水平的切线。换句话说:函数在取得极值的点处,其导数值为零。
二、函数取得极值的几个重要定理
【定理一】(可导函数取得极值的必要条件)
设函数在点处具有导数,且在处取得极值,则。
证明:不妨设是极大值 (极小值的情形也可类似地证明)
据极大值定义, 在的某个邻域内, 对一切异于的点,
使导数为零的点(即方程的实根)称为函数的驻点。
定理一的结论可换成等价的说法:
可导函数的极值点必定是为驻点。
反过来,函数的驻点不一定就是函数的极值点,它最多只是可能的极值点。
【定理二】( 函数取得极值的第一充分条件 )
设函数在点的某个邻域内可导,且
(1)、当取左侧的值时,恒为正;当取右侧的值时,恒为负,那么,在处取得极大值;
(2)、当取左侧的值时,恒为负;当取右侧的值时,恒为正,那么,在处取得极小值;
(3)、当取左右两侧的值时,恒正或恒负,那么,在处没有极值。
下面,我们给出第一充分条件的记忆方法:
一般 + 号往往表示得分,盈利等吉利的事情,蕴含有增加的意思,我们可解释 + 号表示走好运,走上坡路。
而 - 号又往往表示扣分、亏损等不吉利的事情,它含有减少的意思,我们可解释 - 号为走背运,走下坡路。
当在附近由左变到右时,符号由正变到负(),则曲线是先走上坡路,再走下坡路,呈 型,故是极大值;
当在附近由左变到右时,符号由负变到正(),则曲线是先走下坡路,再走上坡路,呈 型,故是极小值。
【例1】求函数的极值。
解:函数的定义域为,且
令, 可得到函数的可能极值点(驻点):。
故是函数的极大值点,且函数的极大值为
故 是函数的极小值点,且函数的极小值为
【定理三】(函数取得极值的第二充分条件)
设函数在点处具有二阶导数, 且、, 则
下面对情形(1)给出证明, 情形(2)的证明完全类似。
据函数极限的性质, 当在的一个充分小的邻域内且时,
于是,对于这邻域内不同于的来说, 与的符号相反,
据定理二知:在点处取极大值。
对极值判定的第二充分条件来说,如下注记是重要的。
1、对于二阶可导的函数,它在驻点的二阶导数的符号可判定函数值为何种极值。
如果,则第二充分条件失效。请看下述反例:
这三个函数在原点处的一阶、二阶导数均为零,它们分别有极小值、极大值,无极值。
2、极值判定的第二充分条件的记忆方法
【例2】求函数的极值。
而, 用第二充分条件无法进行判定, 考察函数的一阶导数在的左右两侧邻近值的符号。
当取的左右侧邻近的值时,;
的左右侧邻近的值时,,
三、函数在不可导点处的极值判定
前面的讨论中, 都假定了函数在所讨论的区间内是可导的这一条件。如果函数在某些点处的导数不存在, 函数在这些点处有可能取得极值吗?
换句话说,使函数不可导的点,是可疑的极值点吗?
【例4】讨论函数的极值。
这两例所反映的事实说明:
函数的不可导点,也是函数可疑的极值点,在讨论函数的极值时,应予以考虑。
求函数在定义区间上的极值,先找出函数在该区间上的可疑极值点(使函数的一阶导数为零或不存在的点),再运用极值判定的第一或第二充分条件,对这些可疑极值点是否确实为极值点进行判定。
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