本文将以实例的形式，基于Wolfram Alpha计算搜索引擎，将介线性代数中行列式的计算，代数余子式与行列式展开、矩阵的基本运算，矩阵的求逆与伴随矩阵、单位矩阵与对角矩阵特殊矩阵的描述以及矩阵的秩、迹和矩阵方程的等相关问题的求解和相关结论的验证实现方法.

2、代数余子式及行列式展开

3、矩阵的乘法运算与矩阵的幂

4、矩阵的数乘运算与转置

5、矩阵的求逆与伴随矩阵

6、单位矩阵与对角矩阵的描述及相关计算

位置：，打开网页直接操作，其中windows app也可以通过Windows 10应用商店下载安装！

特别提示：如果使用网页版执行操作，不需要下载、安装任何软件，也不需要点任何链接，直接网页打开的那个搜索文本编辑框(如下图)输入表达式就可以了！系列推文中除特别强调外，显示的结果都能直接看到的！

手机：可以直接打开网页操作，或者自行网络搜索下载安装WolframAlpha APP版本操作

执行界面：网页、手机或平板等操作界面基本一致.

例1 计算以下行列式.

执行计算得到的结果如下.

例2 计算以下行列式.

执行计算得到的结果显示如下.

2、代数余子式及行列式展开

例 设下列行列式 的 元的代数余子式为 ，计算 的代数余子式构成的矩阵，并分别计算

计算代数余子式的参考输入表达式为

执行计算得到的结果显示如下.

计算结果为 ，也即按照第三行展开计算原行列式的值. 可以直接计算行列式得到行列式就等于 . 为计算

计算结果为 . 以上两个计算结果即验证了行列式按行展开的定理与推论. 即行列式等于它的任一一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和，行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于 .

3、矩阵的乘法运算与矩阵的幂

例1 求下列两个矩阵的乘积 .

执行计算得到的结果显示如下.

例2 对于以下两个矩阵，计算 , ，由此可得出什么结论呢？

执行计算得到的结果显示如下.

说明矩阵的乘法一般不符合交换律.

其中\lambda用于输入 ，特殊符号和希腊字母等加上斜杠和读音一般就可以直接输出相应的符号，执行计算得到的结果显示如下.

4、矩阵的数乘运算与转置

计算 的参考输入表达式为

执行计算得到的结果显示如下.

计算 的参考输入表达式为

执行计算后的结果如下.

5、矩阵的求逆与伴随矩阵

例 求 ，并验证 ，其中 ， 为行列式 中的 元的代数余子式. 其中

直接求逆矩阵的参考输入表达式为

执行计算得到的结果显示如下.

验证 的参考输入表达式为

执行计算得到的结果显示如下.

计算得到的逆矩阵与直接计算逆矩阵结果一致.

6、单位矩阵与对角矩阵的描述及相关计算

由已知可知 . 于是计算 的参考输入表达式为

将鼠标移动到结果矩阵上面，在右下角出现的链接按钮Plain Text上点击鼠标左键，在出现的表达式文本中点击下面的文本输出，将结果矩阵复制到剪贴板中，如上图. 然后依据需要计算的公式

基于矩阵幂计算函数，参考输入表示为

其中identitymatrix(3)表示生成3阶单位矩阵，执行计算得到的结果显示如下.

例 求矩阵 的秩与迹，其中

执行计算得到的结果显示如下.

结果不仅给出秩为 ，而且分别给出了矩阵的列向量、行向量基空间与正交基描述.

执行计算后得到矩阵的迹为 . 输入表达式

则计算得到结果显示如下

即矩阵的迹为对角线上元素的和.

例1 设 ，求 ，其中

执行计算得到的结果显示如下.

例2 求 ，使得 ，其中

执行计算得到的结果显示如下.

本节课介绍了两种构建线性子空间的方法：

1、列空间(矩阵的列向量组的线性组合构成的集合)

2、零空间(齐次线性方程组的所有解构成的集合)

1、向量空间的进一步讨论

在第五节课我们已经知道，$\mathbb{R}^3$内任何过原点的直线或平面上的所有向量构成一个向量空间。

考虑一条过原点的直线上所有向量构成的向量空间$L$和一个过原点的平面上所有向量构成的向量空间$P$，如下图所示：

2、矩阵列空间的构造方法

$A$的列空间$C(A)$为$A$的两个三维列向量通过所有的线性组合产生的向量构成的集合。

从几何角度看，这就是$\mathbb{R}^3$空间中，两个列向量所在的平面(显然该平面过原点)上的所有向量构成的集合。

如果这里的两个列向量是线性相关的，显然构造出来的列空间是过原点的一条直线上的所有向量构成的集合。

$Ax=b$有解，当且仅当$b$是$A$的若干个列向量的线性组合，或者说$b$属于$A$的列空间

$A$的列空间$C(A)$的维度$\mathrm{dim} C(A)$=$r(A)$($A$的列向量的秩)，因为对于A的列向量构成的向量组而言，其中的一个极大线性无关组的线性组合足以构成$\mathrm{dim}C(A)$，其他向量均可由这个极大线性无关组线性表示，它们不会对最终的列空间产生任何贡献。

$A$的列向量组的任一个极大线性无关组均能作为$\mathrm{dim}C(A)$的一组基

对于一个大小为$n\times m$的矩阵$A$，其对应的齐次线性方程组$Ax=0$的所有解构成的集合就是矩阵$A$的零空间(the null space)$N(A)$，其任意一个基础解系均能作为$N(A)$的一组基。

• (1)通过初等行变换将$A$变成上阶梯型矩阵$U$，其中，$U$每一行第一个非零元素称为主元(pivot)(如图中被圈上的元素)。$A$的秩(rank)就是$U$中主元的个数。含有主元的列被称为主列(pivot column)，不含有主元的列被称为自由列(free column)。

• (2)将$U$化为行简化阶梯形矩阵$R$(reduced row echelon form)，$R$中每个主列除主元外其他元素均为0，且每个主元均为1。首先从最后一行开始，用该行$i$对前$i-1$行作初等行变换以消去主列上除主元外的其他元素(如图中第一步所示)。然后对每一行乘以一个系数，使得该行的主元变为1(如图中第二步所示)。

• (3)设共有$t$个自由列(显然$t=m-r(A)$，也就是$m$个未知数减去$r(A)$个主列对应的未知数)，分别让每个自由列对应的未知数取1，其余自由列对应未知数取0，把这组值代入方程组中，回代得到$Ax=0$的一个特解$x_i$，以此类推，得到$Ax=0$的一个基础解系${x_1,x_2,\cdots ,x_t}$

• (4)$Ax=0$的通解就是其基础解系${x_1,x_2,\cdots ,x_t}$的线性组合构成的集合。或者说是基础解系中这$t$个线性无关的向量线性组合构成的一个线性空间。

因此$\begin{pmatrix}-F_{r(A)\times (m-r(A))}\I_{(m-r(A))}\end{pmatrix}$的每个列向量是原方程组的一个特解，而且显然这些列向量是线性无关的，因此它们构成了这个方程组的一个基础解系。换言之，该矩阵的列空间就是$A$的零空间。

1、Ax=b有解的条件

非齐次线性方程组$Ax=b$有解，当且仅当：

(2)对于$A$的行向量组的任意一个得到零向量的线性组合，对$b$按这个线性组合其中各个元素，得到的是0

2、Ax=b的解的结构

从几何角度看，$N(A)$是一个二维平面，将这个平面平移至过向量$x_p$的终点，$x_c$是起点为原点，终点在平移过后的$N(A)$平面上的所有向量。

3、Ax=b与A的秩之间的关系

通过消元得到$m$个主元，若$Ax=b$有解，则只能有唯一解;否则$Ax=b$无解。

最终得到的行简化阶梯形矩阵$R$中每一行不全为0，有$n$个主元。

此时$\mathrm{dim}N(A)\geq 1$，且行简化阶梯形矩阵中有全零行，因此$Ax=b$要么无解，要么有无穷多解。

1、线性相关、线性无关

国内线代教材中都有线性相关与线性无关的定义，这里不再赘述。

需要注意的是，任何一个包含零向量的向量组都是线性相关的(可以让零向量前的系数取任意非零常数，其他向量系数全部取0)

该齐次线性方程组的系数矩阵大小为$n\times m(n < m)$，所以必有自由变量，该方程一定有非零解，所以该向量组必然是线性相关的。

若干个向量的生成空间是这些向量线性组合得到的所有向量构成的集合。

3、矩阵的秩、主元个数、列空间维度之间的关系

矩阵的秩=主元个数=列空间维度

矩阵A的列空间的基是A的列向量组里的任意一个极大线性无关组。

矩阵A的零空间的基是齐次线性方程组$AX=0$的任意一个基础解系。

本节课介绍了$n\times m$的矩阵$A$的四种基本子空间：

• (3)行空间$C(A^T)$($A$的行向量的所有线性组合构成的集合)

注意：$A$的行简化阶梯形矩阵$R$的列空间$C(R)\neq C(A)$，但它们的行空间相同，即$C(R^T)=C(A^T)$，因为对$A$作初等行变换仍是对这些行向量作线性组合

由此可以得到，行空间$C(A^T)$的基是$R$的前$r(A)$个非零行向量

$N(A)$的基就是$AX=0$的任意一组基础解系

对于左零空间而言，其中任意一个列向量满足$A^TY=0$，左右同时转置得$Y^TA=0$，即根据左零空间中的任意一个向量来线性组合$A$的行向量可以得到零向量。

$A$通过初等行变换变为行简化阶梯形矩阵$R$的过程，可以用$n$阶可逆方阵$P$表示：$PA=R$，那么$R$的最后$n-r(A)$个零行对应于，根据$P$的最后$n-r(A)$行中某一行线性组合$A$的行向量。因此：

课程的最后提及了矩阵空间$\mathbb{R}^{n\times n}$，$\mathbb{R}^{n\times n}$是所有n阶实方阵构成的集合，该集合满足加法与数乘的封闭性、线性空间的八条运算律。

• (1)所有n阶上三角方阵构成的集合

• (2)所有n阶对称方阵构成的集合

• (3)所有n阶对角阵构成的集合

很显然(3)是包含于(1)或(2)的。

　假设我们要求解方程$Ax=b$，其中矩阵$A$和$b$如下所示：

　我们可以在矩阵$A$右侧加上一列b，得到：

此即为增广矩阵：即A和b一块二考虑

　方程$Ax=b$可解的条件是：当$b$属于$A$的列空间（ C(A) ）时，也就是$b$是$A$的列向量的线性组合

　换一种说法：如果矩阵$A$各行的线性组合得到零，那么$b$分量执行相同的操作也必须得到零向量（参考上面的矩阵$A$）

　只有$b$满足了上面的条件，方程才有解

　　将所有自由变量设为0

　　我们将增广矩阵进行消元后：

　　　针对上面的例子，$x_2, x_4 = 0$，则求主变量过程简化为：

　　还记得，于是我们的通解为：即特解和零空间（在假设的$b$的情况下）

注意：这里的特解是与$b$的值相关的

　　那么为什么这样的组合可以组成方程的通解呢？原因如下：

其中$x_p$是$b$给定下的特解，$x_n$是零空间，所以通解就是特解加零空间

　矩阵的秩等于矩阵的主元数。如果矩阵的秩为r，则必有r<=m且r<=n，下面讨论满秩（full rank）的情形：

　列满秩：r=n。每列都有主元，x的每一个分量都是主变量，没有自由变量。零空间N(A)之内只有零向量。方程无解或者有唯一解，如下

　　为何列满秩时，零空间N(A)之内只有零向量？因为之前我们讲过零空间定义，该实例中满足$Ax=0$的$x$只有零向量，该实例中的列向量的线性组合无法得到零向量，所以列满秩时，零空间N(A)之内只有零向量。而该实例方程的通解就只剩下特解了，而特解取决于$b$，只有$b$正好是$A$列的线性组合时，方程才有唯一解

　行满秩：r=m。每行都有主元，无论b取何值，方程Ax=b都有解。主变量r个，自由变量n-r个，如下

　满秩r=m=n，矩阵可逆。零空间只有零向量，无论b取何值，方程$Ax=b$都有唯一解

　综上：秩决定了方程组解的数量