微分几何》复习题与参考答案

曲率恒等于零的曲线是 直线 .

挠率恒等于零的曲线是 平面曲线 .

切线(副法线)和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .

u－曲线( v－曲线)的正交轨线的微分方程是

曲面的三个基本形式 , , 、高斯曲率 、平均曲率 之间的关系是 2H K 0 . dr

是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面．

25．如果u 曲线族和 v 曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ．

y y0 的交角的余弦值是

34. 是主曲率的充要条件是

36. 根据罗德里格斯定理，如果方向 (d) (du:dv) 是主方向，则

37 ．旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面．

38 ．测地曲率的几何意义是曲面 S 上的曲线在 P 点的测地曲率的绝对值等于 (C)在 P 点的切平 面 上的正投影曲线 (C*) 的曲率．

39．k,kg,kn之间的关系是 k42． 曲线是曲面的测地线，曲线 (C)上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 .二、单项选择题 1．已知r(t) et,t,e t ，则 r (0)为( A )．

42． 曲线是曲面的测地线，曲线 (C)上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 .

曲线 (C)是一般螺线，以下命题不正确的是( D )．

A．切线与固定方向成固定角； B．副法线与固定方向成固定角；

C．主法线与固定方向垂直； D．副法线与固定方向垂直．

曲面在每一点处的主方向( A )

A．至少有两个； B ．只有一个； C．只有两个； D．可能没有 .

5 ．球面上的大圆不可能是球面上的( D )

A．测地线； B ．曲率线； C．法截线； D．渐近线． .

40 ．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ．

41 ．正交网时测地线的方程为

8．设平面曲线 C:r r(s)，s 为自然参数， , 是曲线的基本向量．叙述错误的是( C )．

9 ．直线的曲率为( B )．

11． 对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的(D )．

A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；

C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件 .

12． 下列论述不正确的是( D )．

A. , , 均为单位向量； B. ； C. ； D. . 13．对于空间曲线 C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的B( )．

A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；

C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件 .

20．设 M 为正则曲面，则 M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．

21． 高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．

A．极小曲面； B．球面； C．常高斯曲率曲面；

22． 曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．

23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线

u-曲线的测地曲率为（

24． 如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．

B． 平面曲线； C． 抛物线；

三、判断题（正确打√，错误打×）

向量函数r r （t）具有固定长度，则 r （t） r（t）. √

曲线 的曲率、挠率都为常数，则曲线 是圆柱螺线 . ×

若曲线 的曲率、挠率都为非零常数，则曲线 是圆柱螺线 . √

两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例 . ×

两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例 . √

等距变换一定是保角变换 . √

保角变换一定是等距变换 . ×

空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定 . ×

在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． ×

若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线． √

在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √

高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． ×

曲面上的直线一定是测地线． √

坐标曲线网是正交网的充要条件是 F 0，这里 F 是第一基本量 . √

高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面 . √

连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 . ×

球面上的圆一定是测地线 . ×

球面上经线一定是测地线 . √

测地曲率是曲面的内蕴量 . √

①求基本向量 , , ； ②求曲率 k 和挠率 .

②由一般参数的曲率公式 k(t)及挠率公式 (t)

②由一般参数的曲率公式 k(t)

球面上任意点的切平面方程为

所以曲线在原点的密切平面的方程为

7 ．求旋转抛物面 z a(x2 y2) 的第一基本形式．

z x2 y2 的高斯曲率和平均曲率．

渐近线微分方程为 4 2 2

曲率线的微分方程为 :

积分得两族曲率线方程 :

①v>0时，是椭圆点；② v<0时，是双曲点；③ v=0时，是抛物点 .

求挠曲线的主法线曲面的腰曲线 .

解 因为正螺面的第一基本形式为 Ι du2 (u2 a2)dv2，螺旋线是正螺面的 v-曲线 u u0，由 得 d 0 ．由正交网的坐标曲线的测地曲率得 kg Gu 2u0 2 ．

证明 由伏雷内公式，得

曲线 r r (s)是一般螺线，证明 :r1 R ds也是一般螺线(R 是曲线 的曲率半径)．

两边关于 s 微商，得

1 ，由于Γ是一般螺线，所以 也是一般螺线 .

证明 对曲线上任意一点， 曲线的位置向量为 r et cost, et sint, 0 ，该点切线的切向量为：

由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．

7．证明：若 r 和r 对一切 t线性相关，则曲线是直线．

故 a ，即主法线与 z 轴垂直．另一方面 z轴的方向向量为 a 0,0,1

故 a ，即主法线与 z 轴垂直．

0 ，所以曲线是平面曲线 . 它所在的平面就是密切平面

11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线 证明 设曲线方程 r r(s) ，定点的向径为 R0，则

证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线 . 证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为 r r(t) ， 则曲面在任一点的密切平面方程为 ( r(t),r(t),r (t)) 0 因任一点的密切平面过定点，所以

若一条曲线的所有法平面包含非零常向量 e ，证明曲线是直线或平面曲线 . 证明 根据已知条件，得 e 0 ① ，

①两边求导，得 e 0，由伏雷内公式得 k e 0 ， ⅰ)k 0，则曲线是直线； ⅱ) e 0 又有①可知 ‖e 因 e 是常向量，所以 是常向量，

设在两条挠曲线 , 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平 行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行 .

证明挠曲线( 0 )的主法线曲面是不可展曲面 . 证明 设挠曲线为 r r(s) ，则挠率 0 ，

证明挠曲线( 0 )的副法线曲面是不可展曲面 .

证明 设挠曲线为 r r(s) ，则挠率 0，

证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线

所以主法向量与曲面的法向量夹角 , kn kcos 0,

所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线 .

所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面 . 也可以用高斯曲率 K=0 证明 .

给出曲面上一条曲率线 ，设 上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角， 求证 是一平面曲线 .

证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角 0 ，则ｎ ＝ cos 0

两边求微商，得 ｎ ＋ｎ ＝ 0

由于曲线 是曲率线，所以 ｎ ， 进而 ｎ ＝0 ， 由伏雷内公式得 － ｎ ＝0

⑴ ＝0 时， 是一平面曲线

又因为 是曲率线，所以 dn kndr 0即n是常向量，所以 是平面曲线 .

20． 求证正螺面上的坐标曲线(即 u 曲线族 v 曲线族)互相垂直．

证明在曲面上的给定点处 ,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数 . 证明 由欧拉公式 kn k1 cos2 k2 sin2

如果曲面上非直线的测地线 均为平面曲线，则 必是曲率线 . 证明 因为曲线 是非直线的测地线，所以沿此曲线有 n ,

从而 n ( ), 又因为曲线是平面曲线，所以 0,

进一步 n . 由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线

因为 M rxy 0, 所以坐标曲线构成共轭网，

即曲线族 x=常数 , y=常数构成共轭网

24．证明马鞍面 z xy 上所有点都是双曲点．

25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即

面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．

证明 设球面的参数表示为

曲面 x y z3 的所有点为抛物点．

0, 故正螺面是极小曲面．

纬线是 u- 线，此时 0或 ，

kg 0. 所以，纬线是测地线．

30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．

当 K 0时， k1 k2 0 ， 极小曲面的点都是平点；

当 K 0 时，极小曲面的点都是双曲点．

31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；

(2) 如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线 .

证明 (1) 因为曲线是测地线，所以 kg 0， 曲线又是渐近线，所以， kn 0， 而 k2 kn2 kg2，所以 k=0 ，故所给曲线是直线 .

(2) 证法 1 因曲线是测地线，所以沿此曲线有 n ，所以 dn， 又曲线是曲率线，所以 dn dr ，

所以 ( k ) ，所以 0，故所给曲线是平面曲线 . 证法 2

因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有 n , n , 而 ，所以 n, 从而 ( n n) ( k n 0) 0 ， 又 ，所以 0 ，故所给曲线是平面曲线 .

26．证明平面是全脐的．

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